Теория и методология повышения эффективности и точности решения главных геодезических задач на поверхности эллипсоида и в пространстве

В настоящее время для решения основной задачи геодезии по изучению фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля применяются астрономо-геодезический, гравиметрический и космический методы, дополняющие и контролирующие друг друга.

Так как за математическую модель Земли принимается эллипсоид вращения, то его параметры и координатная поверхность в явном или неявном видах используется при математической обработке всех видов измерений.

Классическая редукционная задача по приведению выполненных измерений к поверхности эллипсоида решается: при построении сетей с помощью хорд эллипсоида; при трансформировании базисных линий, полученных системой GPS, в референцную систему координат; при обработке спутниковых измерений с целью вычисления наклонных расстояний между пунктами базиса; при редуцировании наклонной дальности, измеренной от спутника до объекта, для решения комбинированных засечек.

Проблема определения взаимного положения двух точек на эллипсоиде вращения, на поверхности Земли и в околоземном пространстве, получившая название «решения главных геодезических задач» (ГГЗ), под влиянием научно-технического прогресса меняет только аспекты своего решения, оставаясь актуальной длительный период времени. Формулы решения прямой геодезической задачи (ПГЗ) и обратной геодезической задачи (ОГЗ) между точками на физической поверхности Земли и в околоземном пространстве применяются: при обработке пространственных геодезических сетей;  при решениях  разнообразных геодезических  засечек; для определения уклонения отвесной линии по GPS-измерениям.

В связи с освоением шельфа и богатств Мирового океана широкое распространение при геодезическом обеспечении работ получили наземные навигационные и радионавигационные системы (типа Лоран, Омега, Селедис). С их применением координаты объектов определяются засечками (азимутальной, линейной, гиперболической), использующими формулы решения ПГЗ и ОГЗ на поверхности эллипсоида. Точность этих результатов существенно повышается при совместной обработке наземных радиогеодезических и спутниковых измерений. Решения ГГЗ на поверхности эллипсоида выполняются: для уточнения фундаментальных параметров земного эллипсоида; при установлении единой координатной системы; при ориентировке референц-эллипсоида; при уравнивании геодезических сетей сгущения; при исследованиях горизонтальных движений земной коры; при определениях уклонения отвесной линии на морской поверхности по альтиметрическим измерениям; при подготовке высокоточных маршрутов движения морских судов и воздушных объектов, при запусках ракет и ИСЗ, в целях  слежения за управляемыми ракетами; для определения промежуточных точек геодезической линии.

Теория определения взаимного положения точек на поверхности эллипсоида разработана Эйлером Л. еще в 1753 г.  Выведенные им дифференциальные уравнения геодезической линии (ДУГЛ) составили теоретическую основу построения математических моделей решения ГГЗ. Так как интегралы этих уравнений не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то для приближенных решений применяют различные методы аппроксимации первообразных.

В течение более двух столетий, начиная с Эйлера Л., Лежандра А., Ориани Б., как отечественными, так и зарубежными учеными разработано значительное количество способов решения ГГЗ. Методика построения и практическая реализация математических моделей решения ГГЗ всегда определялись уровнем развития вычислительной техники, а их точность обусловливалась дорогостоящими технологиями производства геодезических работ. Для исключения вычислительных погрешностей к выводимым формулам предъявляется требование, чтобы точность определяемой по ним величины была на один-два порядка выше точности, вызванной погрешностями измерений <...>